1. المقدمة

تستقصي ورقة البحث الشاملة هذه مشكلة تحسين نسبة الأثر على متشعب شتيفل من منظورين نظري وحسابي. المشكلة الأساسية المعالجة هي تعظيم دالة نسبة الأثر المعرفة كـ f_α(X) = أثر(X^TAX + X^TD) / [أثر(X^TBX)]^α، حيث X ينتمي إلى متشعب شتيفل O_n×k = {X ∈ R^n×k : X^TX = I_k}. المصفوفات A و B هما مصفوفتان متماثلتان n×n مع كون B موجبة شبه محددة وذات رتبة أكبر من n-k، D هي مصفوفة n×k، والمعامل α يتراوح بين 0 و 1. شرط الرتبة rank(B) > n-k يضمن أن المقام يبقى موجباً لجميع قيم X الممكنة.

يوفر إطار تحسين متشعب شتيفل أساساً رياضياً صارماً لحل هذه الفئة من المشكلات، والتي لها تداعيات كبيرة عبر مجالات متعددة في علم البيانات والتعلم الآلي. يثبت البحث شروطاً ضرورية في شكل مشاكل قيم ذاتية غير خطية مع اعتماد على المتجهات الذاتية ويطور خوارزميات عددية متقاربة تعتمد على التكرار الميداني المتناسق ذاتياً (SCF).

1.1 الأعمال السابقة

تحدد الورقة وتحلل ثلاث حالات خاصة هامة تمت دراستها بشكل مكثف في الأدبيات السابقة:

تحليل التمييز الخطي لفشر

مع D = 0 و α = 1، تختزل المشكلة إلى max_X∈On×k أثر(X^TAX) / أثر(X^TBX)، والتي تظهر في تحليل التمييز الخطي لفشر للتعلم الموجّه. حولت الأساليب السابقة هذه إلى مشكلة إيجاد صفر: حل φ(λ) = 0 حيث φ(λ) := max_X∈On×k أثر(X^T(A - λB)X). تم إثبات أن الدالة φ(λ) غير متزايدة وعادة ما يكون لها صفر فريد، والذي يمكن إيجاده باستخدام طريقة نيوتن. تؤدي شروط كاروش-كون-تكر (KKT) إلى مشكلة قيمة ذاتية غير خطية (NEPv): H(X)X = XΛ، حيث H(X) هي دالة مصفوفية متماثلة قيمتها تعتمد على X و Λ = X^TH(X)X.

تحليل الارتباط الأساسي المتعامد

مع A = 0 و α = 1/2، تصبح المشكلة max_X∈On×k أثر(X^TD) / √أثر(X^TBX)، والتي تظهر في تحليل الارتباط الأساسي المتعامد (OCCA). تعمل هذه الصياغة كنواة لمخطط تكراري تبادلي. شروط KKT لهذه الحالة لا تأخذ شكل NEPv فوراً ولكن يمكن تحويلها بشكل مكافئ إلى واحدة، مما يمكن الحل عبر تكرار SCF مع معالجة لاحقة مناسبة.

مشكلة بروكرستس غير المتوازنة

ترتبط الحالة الخاصة الثالثة بمشكلة بروكرستس غير المتوازنة، وإن كانت أقل تفصيلاً بشكل صريح في المقتطف المقدم. تظهر الحالات الثلاث جميعها قابلية التطبيق الواسعة لإطار تحسين نسبة الأثر عبر نماذج التعلم الإحصائي المتنوعة.

2. صياغة المشكلة

يتم تعريف مشكلة تحسين نسبة الأثر العامة بشكل رسمي كالتالي:

المشكلة (1.1a): max_X^TX=Ik f_α(X)

حيث: f_α(X) = [أثر(X^TAX + X^TD)] / [أثر(X^TBX)]^α

تفي المعاملات بالشروط: 1 ≤ k < n، I_k هي مصفوفة الوحدة k×k، A, B ∈ R^n×n متماثلتان مع B موجبة شبه محددة و rank(B) > n-k، D ∈ R^n×k، متغير المصفوفة X ∈ R^n×k، والمعامل 0 ≤ α ≤ 1.

تلاحظ الورقة أيضاً أن حالة تبدو أكثر عمومية بوجود ثابت إضافي c في البسط يمكن إعادة صياغتها كحالة خاصة من المشكلة (1.1) من خلال معالجة جبرية، مما يظهر شمولية الإطار المقترح.

3. الأسس النظرية

يثبت البحث عدة نتائج نظرية أساسية:

الشروط الضرورية

تم اشتقاق شروط الأمثلية الضرورية لمشكلة تحسين نسبة الأثر كمشاكل قيم ذاتية غير خطية مع اعتماد على المتجهات الذاتية (NEPv). للحالة الخاصة لتحليل التمييز الخطي لفشر (α=1, D=0)، تأخذ NEPv الشكل H(X)X = XΛ، حيث H(X) = A - λ(X)B و λ(X) = أثر(X^TAX)/أثر(X^TBX).

الوجود والتفرد

للمشكلة (1.3) (حالة تحليل التمييز الخطي لفشر)، تم إثبات أنه لا توجد معظمات محلية—فقط المعظمات العامة موجودة. تضمن هذه الخاصية الهامة أن أي خوارزمية متقاربة ستصل إلى حل أمثل عالمي.

التفسير الهندسي

يحدث التحسين على متشعب شتيفل، الذي يمتلك بنية هندسية غنية. يتم تحليل تقارب الخوارزميات من حيث متشعب غراسمان G_k(Rⁿ) (مجموعة جميع الفضاءات الجزئية ذات البعد k لـ Rⁿ)، مما يوفر منظوراً هندسياً على عملية التحسين.

4. الطرق العددية

تقترح الورقة وتحلل تكرار المجال المتناسق ذاتياً (SCF) لحل مشكلة تحسين نسبة الأثر:

خوارزمية SCF

التكرار الأساسي لـ SCF للمشكلة (1.3) هو: H(X_i-1)X_i = X_iΛ_i-1، بدءاً من مبدئي