Sur les Perturbations des Paires Tissées de Frames dans les Espaces de Hilbert

Table des Matières

• 1. Introduction et Préliminaires
• 2. Frames et Frames Tissés
• 3. Résultats de Perturbation pour les Paires Tissées
• 4. Caractérisation par les Opérateurs
• 5. Aperçu Statistique
• 6. Points Clés
• 7. Conclusion

1. Introduction et Préliminaires

Les familles tissées de frames ont été introduites par Bemrose et al. en 2015, motivées par des applications de traitement distribué du signal dans les réseaux de capteurs sans fil. L'idée centrale implique le prétraitement des signaux en utilisant une famille de frames correspondant aux nœuds capteurs, garantissant une reconstruction robuste du signal quelle que soit le sous-ensemble de mesures obtenu. Mathématiquement, une famille de frames {f_ij}_{i∈I, j∈I_n} pour un espace de Hilbert séparable H est tissée si, pour toute partition {σ_j}_{j∈I_n} de l'ensemble d'indices I, l'ensemble {f_ij}_{i∈σ_j, j∈I_n} forme un frame pour H avec des bornes uniformes. Cette note se concentre sur les paires tissées de frames (F, G), où F = {f_i}_{i∈I} et G = {g_i}_{i∈I}, en examinant les petites perturbations qui préservent la propriété tissée. Nous utilisons les opérateurs de synthèse pour simplifier les preuves et explorons les caractérisations impliquant les projections obliques et les angles des noyaux.

2. Frames et Frames Tissés

Soit H un espace de Hilbert séparable, et B(H) désigne l'algèbre des opérateurs linéaires bornés sur H. Pour un opérateur T ∈ B(H), R(T) et N(T) représentent respectivement son image et son noyau. Un frame F = {f_i}_{i∈I} pour H satisfait A∥x∥² ≤ ∑_{i∈I} |⟨x, f_i⟩|² ≤ B∥x∥² pour tout x ∈ H, avec les bornes optimales A_F et B_F. L'opérateur de synthèse T_F : H → H est défini via une base orthonormale B = {e_i}_{i∈I} comme T_F e_i = f_i, avec l'opérateur d'analyse T_F* et l'opérateur de frame S_F = T_F T_F*. Les propriétés clés incluent : F est un frame si et seulement si T_F est surjectif, et S_F est positif et inversible. Le frame dual canonique S_F^{-1}(F) permet la reconstruction : x = ∑_{i∈I} ⟨x, f_i⟩ S_F^{-1} f_i.

Les frames tissés, selon la Définition 2, exigent que pour toute partition {σ_j}_{j∈I_n} de I, le tissage {f_ij}_{i∈σ_j, j∈I_n} soit un frame avec des bornes uniformes A et B. Le tissage faible abandonne l'exigence d'uniformité. Le Théorème 1 (de [2]) établit que les paires faiblement tissées sont tissées, simplifiant l'analyse. Cette note se concentre sur les paires (F, G), en utilisant la théorie des opérateurs pour dériver les conditions de perturbation.

3. Résultats de Perturbation pour les Paires Tissées

Nos résultats complètent la littérature existante en examinant les petites perturbations δF = {f_i + δ_i}_{i∈I} d'un frame F. Sous certaines conditions sur ∥δ_i∥, la paire (F, δF) reste tissée. Spécifiquement, si ∥δ_i∥ < ε pour tout i et ε est suffisamment petit par rapport aux bornes du frame, alors la perturbation préserve la propriété tissée. Les preuves utilisent les opérateurs de synthèse : Soient T_F et T_δF les opérateurs de synthèse de F et δF. Si ∥T_F - T_δF∥ < A_F / 2, alors T_δF reste surjectif, garantissant que δF est un frame. Pour le tissage, considérons toute partition σ ; l'opérateur de synthèse T_σ pour le tissage {f_i}_{i∈σ} ∪ {δ_i}_{i∈σ^c} doit satisfaire des bornes similaires. Nous montrons que ∥T_σ - T_F∥ peut être contrôlé, maintenant l'inversibilité de S_σ.

Lemme clé : Si F et G sont tissés avec des bornes A, B, et ∥T_F - T_G∥ < A/2, alors de petites perturbations de l'un ou l'autre frame conservent la propriété tissée. Cela s'étend aux séquences où les perturbations sont sommables, généralisant les résultats antérieurs.

4. Caractérisation par les Opérateurs

Nous caractérisons les paires tissées via l'angle entre le noyau de l'opérateur de synthèse mixte et les images des projections obliques. Définissons l'opérateur T_{F,G} : H → H × H par T_{F,G} x = (T_F x, T_G x). La paire (F, G) est tissée si et seulement si pour toute partition σ, l'opérateur restreint T_σ = (T_F|_σ, T_G|_{σ^c}) est surjectif. Cette surjectivité est équivalente à la condition que l'angle entre N(T_{F,G}) et R(P_σ) est borné inférieurement, où P_σ est une projection oblique sur le sous-espace correspondant à σ.

Spécifiquement, soit θ_σ l'angle minimal entre N(T_{F,G}) et R(P_σ). Alors, (F, G) est tissée si et seulement si inf_σ θ_σ > 0. Cela ressemble aux caractérisations des frames de Riesz, où l'uniformité à travers les partitions est cruciale. Les applications incluent la vérification de la propriété tissée pour les frames liés par des perturbations compactes ou des différences de rang fini.

5. Aperçu Statistique

6. Points Clés

• Les paires faiblement tissées sont tissées, simplifiant l'analyse à l'existence de bornes de frame par partition.
• Les opérateurs de synthèse fournissent une approche unifiée pour les preuves de perturbation, évitant les arguments basés sur les coordonnées.
• La condition d'angle se généralise aux espaces de Banach et aux fusion frames, comme indiqué dans les travaux antérieurs.
• Les petites perturbations en norme d'opérateur préservent la propriété tissée, avec des bornes explicites dérivées des constantes de frame.
• Les applications dans les réseaux de capteurs nécessitent une robustesse aux défaillances des nœuds, modélisées par des partitions.

7. Conclusion

Cette note fait avancer la théorie des frames tissés en établissant des résultats de perturbation via des méthodes opératorielles. Nous montrons que de petites perturbations dans la norme de l'opérateur de synthèse préservent la propriété tissée, avec des bornes exprimées en termes de constantes de frame. La caractérisation via les angles entre les noyaux et les images des projections offre une nouvelle perspective, reliant la propriété tissée aux propriétés géométriques dans les espaces de Hilbert. Les travaux futurs pourraient étendre ces résultats aux K-frames et aux frames continus, améliorant davantage les applications dans le traitement distribué.