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1. परिचय और प्रारंभिक जानकारी
फ्रेम के बुने परिवारों को बेमरोज़ एट अल. द्वारा 2015 में पेश किया गया था, जिसकी प्रेरणा वायरलेस सेंसर नेटवर्क में वितरित सिग्नल प्रसंस्करण अनुप्रयोगों से मिली। मूल विचार में सेंसर नोड्स के अनुरूप फ्रेम के एक परिवार का उपयोग करके सिग्नलों का पूर्व-प्रसंस्करण शामिल है, जो यह सुनिश्चित करता है कि मापों के किस उपसमुच्चय को प्राप्त किया गया है, उसकी परवाह किए बिना सिग्नल पुनर्निर्माण मजबूत रहे। गणितीय रूप से, एक अलग होने योग्य हिल्बर्ट स्पेस H के लिए फ्रेम का एक परिवार {f_ij}_{i∈I, j∈I_n} बुना हुआ है यदि, सूचकांक समुच्चय I के प्रत्येक विभाजन {σ_j}_{j∈I_n} के लिए, समुच्चय {f_ij}_{i∈σ_j, j∈I_n} H के लिए एकसमान सीमाओं के साथ एक फ्रेम बनाता है। यह नोट फ्रेम के बुने जोड़े (F, G) पर केंद्रित है, जहाँ F = {f_i}_{i∈I} और G = {g_i}_{i∈I}, उन छोटे विक्षोभों की जांच करता है जो बुने गुण को बनाए रखते हैं। हम प्रमाणों को सरल बनाने के लिए संश्लेषण ऑपरेटरों का लाभ उठाते हैं और तिरछे प्रक्षेपण और नलस्पेस कोणों से जुड़े अभिलक्षणों का अन्वेषण करते हैं।
2. फ्रेम और बुने फ्रेम
मान लीजिए H एक अलग होने योग्य हिल्बर्ट स्पेस है, और B(H) H पर परिबद्ध रैखिक ऑपरेटरों के बीजगणित को दर्शाता है। एक ऑपरेटर T ∈ B(H) के लिए, R(T) और N(T) क्रमशः इसकी परिसर और शून्य स्थान का प्रतिनिधित्व करते हैं। H के लिए एक फ्रेम F = {f_i}_{i∈I} A∥x∥² ≤ ∑_{i∈I} |⟨x, f_i⟩|² ≤ B∥x∥² को सभी x ∈ H के लिए संतुष्ट करता है, जिसमें इष्टतम सीमाएँ A_F और B_F हैं। संश्लेषण ऑपरेटर T_F : H → H को एक ऑर्थोनॉर्मल आधार B = {e_i}_{i∈I} के माध्यम से T_F e_i = f_i के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसमें विश्लेषण ऑपरेटर T_F* और फ्रेम ऑपरेटर S_F = T_F T_F* है। मुख्य गुणों में शामिल हैं: F एक फ्रेम है यदि और केवल यदि T_F आच्छादक है, और S_F धनात्मक और व्युत्क्रमणीय है। विहित द्वैत फ्रेम S_F^{-1}(F) पुनर्निर्माण को सक्षम बनाता है: x = ∑_{i∈I} ⟨x, f_i⟩ S_F^{-1} f_i।
परिभाषा 2 के अनुसार, बुने फ्रेम के लिए आवश्यक है कि I के किसी भी विभाजन {σ_j}_{j∈I_n} के लिए, बुनाई {f_ij}_{i∈σ_j, j∈I_n} एकसमान सीमाओं A और B के साथ एक फ्रेम हो। कमजोर बुनाई एकरूपता की आवश्यकता को छोड़ देती है। प्रमेय 1 ([2] से) स्थापित करता है कि कमजोर रूप से बुने जोड़े बुने हुए हैं, जिससे विश्लेषण सरल हो जाता है। यह नोट जोड़े (F, G) पर ध्यान केंद्रित करता है, विक्षोभ स्थितियों को प्राप्त करने के लिए ऑपरेटर सिद्धांत का उपयोग करता है।
3. बुने जोड़े के लिए विक्षोभ परिणाम
हमारे परिणाम मौजूदा साहित्य को पूरक करते हैं by एक फ्रेम F के छोटे विक्षोभ δF = {f_i + δ_i}_{i∈I} की जांच करते हैं। ∥δ_i∥ पर कुछ शर्तों के तहत, जोड़ी (F, δF) बुनी हुई रहती है। विशेष रूप से, यदि सभी i के लिए ∥δ_i∥ < ε और ε फ्रेम सीमाओं के सापेक्ष पर्याप्त रूप से छोटा है, तो विक्षोभ बुने गुण को संरक्षित रखता है। प्रमाण संश्लेषण ऑपरेटरों का उपयोग करते हैं: मान लीजिए T_F और T_δF, F और δF के संश्लेषण ऑपरेटर हैं। यदि ∥T_F - T_δF∥ < A_F / 2, तो T_δF आच्छादक बना रहता है, यह सुनिश्चित करता है कि δF एक फ्रेम है। बुनाई के लिए, किसी भी विभाजन σ पर विचार करें; बुनाई {f_i}_{i∈σ} ∪ {δ_i}_{i∈σ^c} के लिए संश्लेषण ऑपरेटर T_σ को समान सीमाओं को संतुष्ट करना चाहिए। हम दिखाते हैं कि ∥T_σ - T_F∥ को नियंत्रित किया जा सकता है, जिससे S_σ की व्युत्क्रमणीयता बनी रहती है।
मुख्य लेम्मा: यदि F और G सीमाओं A, B के साथ बुने हुए हैं, और ∥T_F - T_G∥ < A/2, तो किसी भी फ्रेम के छोटे विक्षोभ बुने गुण को बनाए रखते हैं। यह उन अनुक्रमों तक फैलता है जहां विक्षोभ योग करने योग्य हैं, जो पिछले परिणामों को सामान्यीकृत करते हैं।
4. ऑपरेटर-आधारित अभिलक्षण
हम मिश्रित संश्लेषण ऑपरेटर के शून्य स्थान और तिरछे प्रक्षेपणों की परिसरों के बीच के कोण के माध्यम से बुने जोड़े का अभिलक्षण करते हैं। ऑपरेटर T_{F,G} : H → H × H को T_{F,G} x = (T_F x, T_G x) के रूप में परिभाषित करें। जोड़ी (F, G) बुनी हुई है यदि और केवल यदि प्रत्येक विभाजन σ के लिए, प्रतिबंधित ऑपरेटर T_σ = (T_F|_σ, T_G|_{σ^c}) आच्छादक है। यह आच्छादकता इस शर्त के बराबर है कि N(T_{F,G}) और R(P_σ) के बीच का कोण नीचे से परिबद्ध है, जहाँ P_σ, σ के अनुरूप उपस्पेस पर एक तिरछा प्रक्षेपण है।
विशेष रूप से, मान लीजिए θ_σ, N(T_{F,G}) और R(P_σ) के बीच का न्यूनतम कोण है। तब, (F, G) बुना हुआ है यदि और केवल यदि inf_σ θ_σ > 0। यह रीज़ फ्रेम के अभिलक्षणों से मिलता-जुलता है, जहां विभाजनों में एकरूपता महत्वपूर्ण है। अनुप्रयोगों में कॉम्पैक्ट विक्षोभ या परिमित-रैंक अंतर से संबंधित फ्रेम के लिए बुनेपन को सत्यापित करना शामिल है।
5. सांख्यिकीय अवलोकन
फ्रेम सीमाएँ
इष्टतम सीमाएँ A_F और B_F की गणना A_F = ∥T_F†∥^{-2}, B_F = ∥T_F∥² के रूप में की गई
विक्षोभ सीमा
ε < A_F / 2, ∥T_F - T_δF∥ < ε के तहत बुनेपन सुनिश्चित करता है
विभाजन गणना
अनंत I के लिए, अगणनीय रूप से कई विभाजन; सभी के लिए एकरूपता आवश्यक
6. मुख्य अंतर्दृष्टि
- कमजोर रूप से बुने जोड़े बुने हुए हैं, जो प्रति विभाजन फ्रेम सीमाओं के अस्तित्व तक विश्लेषण को सरल बनाते हैं।
- संश्लेषण ऑपरेटर विक्षोभ प्रमाणों के लिए एक एकीकृत दृष्टिकोण प्रदान करते हैं, जो निर्देशांक-आधारित तर्कों से बचते हैं।
- कोण की शर्त बनाच स्पेस और फ्यूजन फ्रेम तक सामान्यीकृत होती है, जैसा कि पिछले कार्यों में दर्शाया गया है।
- ऑपरेटर मानदंड में छोटे विक्षोभ बुने गुण को संरक्षित रखते हैं, जिसमें फ्रेम स्थिरांक से प्राप्त स्पष्ट सीमाएँ होती हैं।
- सेंसर नेटवर्क में अनुप्रयोगों को नोड विफलताओं के प्रति मजबूती की आवश्यकता होती है, जिसे विभाजनों द्वारा मॉडल किया जाता है।
7. निष्कर्ष
यह नोट ऑपरेटर-सैद्धांतिक विधियों के माध्यम से विक्षोभ परिणाम स्थापित करके बुने फ्रेम के सिद्धांत को आगे बढ़ाता है। हम दिखाते हैं कि संश्लेषण ऑपरेटर मानदंड में छोटे विक्षोभ बुने गुण को संरक्षित रखते हैं, जिसमें सीमाओं को फ्रेम स्थिरांक के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। शून्य स्थानों और प्रक्षेपण परिसरों के बीच के कोणों के माध्यम से अभिलक्षण एक नया दृष्टिकोण प्रदान करता है, जो बुनेपन को हिल्बर्ट स्पेस में ज्यामितीय गुणों से जोड़ता है। भविष्य का कार्य इन परिणामों को K-फ्रेम और निरंतर फ्रेम तक विस्तारित कर सकता है, जिससे वितरित प्रसंस्करण में अनुप्रयोगों को और बढ़ावा मिल सकता है।